pitagoras

filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suelen atribuirseal propio Pitágoras.

A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad

a² + b² = c²

rheticus

rheticus, 1514-Kosice, 1576) Matemático y astrónomo alemán. Relacionó por primera vez las funciones trigonométricas con los ángulos (en vez de con los arcos) y elaboró una de las mejores tablas trigonométricas de su época. Nombrado en 1536 profesor de astronomía en la Universidad de Wittemberg, fue uno de los primeros seguidores de la hipótesis copernicana y discípulo de N.

El matemático, astrónomo, teólogo, cartógrafo, constructor de instrumentos musicales y médico Georg Joachim Rheticus (1514-1574) cumpliría hoy 500 años.Contribuyó considerablemente a la expansión del pensamiento copernicano ,como su único discípulo.En Su Narratio prima de libris revolutionum Copernici (1540) dio las Primeras Noticias sobre la Obra copernicana. Más Tarde, Rheticus pubilicó experimento fundamental (1550).

hiparco de nicea

fue un astronomo,geografo y matemático griego. Entre sus aportaciones cabe destacar: el primer catálogo de estrellas; la división del día en 24 horas de igual duración (hasta la invención del reloj mecánico en el siglo XIV las divisiones del día variaban con las estaciones); el descubrimiento de la precesion de los equinoccios, la distinción entre año sidéreo y año trópico, mayor precisión en la medida de la distancia Tierra-Luna y de la oblicuidad de la eclíptica, invención de la trigonometría y de los conceptos de longitud y latitud geográficas.

Elaboración del primer catálogo de estrellas que contenía la posición en coordenadas eclipticas de 1080 estrellas. Influyó en Hiparco la aparición de una estrella nova ,Scorpii en el año 134 a.c y el pretender fijar la posición del equinoccio de primavera sobre el fondo de estrellas.

trigonometia de hiparco de nicea

En astronomía descubrió la presesión de los equinoccios y describió el movimiento aparente de las estrellas fijas cuya medición fue de 46', muy aproximado al actual de 50,26". Calculó un periodo de eclipses de 126.007 días y una hora. Hiparco también calculó la distancia a la Luna basándose en la observación de un eclipse el 14 de marzo de 190 a.C. Su cálculo fue entre 59 y 67 radios terrestres, el cual está muy cerca del real (60 radios). Desarrolló un modelo teórico del movimiento de la luna basado en epiciclos.

Identidades trigonométricas

Todas las funciones en O.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funcione trigonometricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

\sin(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \qquad \sin(x) = \frac {\tan{x}} {\sqrt{1+\tan^2(x)}}

\sin(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}} \qquad \sin(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}

Ejemplo 2:

\frac{\sec^2 t -1}{\sec^2 t}= \sin^2 t

ley de seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ejercicios

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45°
y C = 105°.
Determina los restantes elementos.

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde
A = 45°, B = 72° y a=20m.

ley del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
menos el doble producto del producto de ambos por
el coseno del ángulo que forman.

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm,
y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el
ángulo quformarán las tangentes a dicha circunferencia,
trazadas por loextremos de una cuerda de longitud 36 m.

preguntas icfes

1. Un colegio necesita enviar 5 estudiantes como representantes a un foro sobre la contaminación del medio ambiente. Se decidió que 2 estudiantes sean de grado décimo y 3 de grado undécimo. En décimo hay 5 estudiantes preparados para el foro y en undécimo hay 4. ¿Cuántos grupos diferentes pueden formarse para enviar al foro?

A. 9

B. 14

C. 20

D. 40

2. Entre los 16 estudiantes de un salón de clases se va a rifar una boleta para ingresar a un parque de diversiones. Cada estudiante debe escoger un número del 3 al 18.El sorteo se efectúa de la siguiente manera: se depositan 6 balotas en una urna, cada una numerada del 1 al 6; se extrae una balota, se mira el número y se vuelve a depositar en la urna El experimento se repite dos veces más. La suma de los tres puntajes obtenidos determina el número ganador de la rifa. Si en la primera extracción del sorteo se obtuvo 2, es más probable que el estudiante que escogió el número 10 gane la rifa a que la gane el estudiante con el número 7, porque

A. al ser mayor el número escogido, es mayor la probabilidad de ganar.

B. el primer estudiante tiene una posibilidad más de ganar que el segundo.

C. es más probable seguir obteniendo números pares.

D. es mayor la diferencia entre 10 y 18 que entre 2 y 7.

3. Sobre una circunferencia de centro Ose localizan dos puntos P y P’ diferentes.

De las siguientes, ¿cuál figura NO puede resultar al unir entre sí los puntos P, P’ y O

A. Un triángulo isósceles.

B. Un radio de la circunferencia.

C. Un triángulo equilátero.

D. Un diámetro de la circunferencia.

4. Se puede encontrar números racionales mayores que k, de manera que sean cada vez más cercanos a él, calculando (con j entero positivo). Cuanto más grande sea j, más cercano a k será el racional construido. ¿Cuántos números racionales se pueden construir cercanos a k y menores que k+1/1 1?

A. 10, que es la cantidad de racionales menores que 11.

B. Una cantidad infinita, pues existen infinitos números enteros mayores que 11.

C. 11, que es el número que equivale en este caso a j.

D. Uno, pues el racional más cercano a k se halla con j = 10, es decir, con k + 0,1.

5. Un trapecio isósceles es un cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos y los otros dos, de igual medida.

En un plano cartesiano se dibuja un trapecio isósceles de modo que el eje Y divide al trapecio en dos figuras iguales.

Si las coordenadas de dos de los vértices del trapecio son (-4, 2) y (-2, 8), ¿Cuáles son las coordenadas de los otros dos vértices?

A. (8, 2) y (2, 4).

B. (2, 8) y (4, 2).

C. (-2, -4) y (-8, -2).

D. (-4, -2) y (-2, -8).

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martes, 12 de agosto de 2014

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